Question

10．已知函数f（x）=x³+ax²+bx图象与直线x-y-4=0相切于（1，f（1））
（1）求实数a，b的值；
（2）若方程f（x）=m-7x有三个解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出切点坐标，利用导数与函数值，即可得到结果．
（2）求出函数的导数，通过导数为0，得到函数的单调性，通过函数的极值点，推出不等式组，得到结果．

解答 附加题：
解：（1）x=1代入直线方程可得f（1）=-3，
函数f（x）=x³+ax²+bx，求导可得f′（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1+a+b=-3\\ f′（1）=3+2a+b=1\end{array}\right.$，…（4分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-6\end{array}\right.$；…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-6x，所以方程等价于x³+2x²-6x=m-7x，即x³+2x²+x=m，
令h（x）=x³+2x²+x，
∴h′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），…（8分）
令h′（x）=0，解得x=-$\frac{1}{3}$或x=-1．当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	$（-1，-\frac{1}{3}）$	$-\frac{1}{3}$	$（-\frac{1}{3}，+∞）$
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	单调递增	0	单调递减	$-\frac{4}{27}$	单调递增

…（10分）
要使x³+2x²+x=m有三个解，需要$-\frac{4}{27}＜m＜0$，
所以m的取值范围是$-\frac{4}{27}＜m＜0$…（12分）

点评 本题考查函数的导数以及函数的切线方程以及函数的导数与函数的单调性的应用，考查计算能力．