Question

19．已知n条直线l₁：x-y+C₁=0，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0…，l_n：x-y+C_n=0，（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n）在这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2，3，4，…，n（即l₂直线与直线l₁的距离为2，l₃直线与直线l₂的距离为3，…）
（1）若C₁=$\sqrt{2}$，求：①C₂的值 ②直线x-y+C_n=0与x轴、y轴围成图形的面积S；
（2）若C₁=-10$\sqrt{2}$，求直线ln：x-y+C_n=0到原点的距离d，并求d_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由平行线的距离公式得$\frac{|{c}_{2}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2，从而解得；②由$\frac{|{c}_{n}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2+3+4+…+n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$解得c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$；从而求面积；
（2）化简c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$-10$\sqrt{2}$，从而求d_n=$\frac{|\frac{（n+2）（n-1）}{2}\sqrt{2}-10\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|$\frac{{n}^{2}+n-22}{2}$|；从而求最小值．

解答 解：（1）若C₁=$\sqrt{2}$，
①由题意，$\frac{|{c}_{2}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2，
即|c₂-$\sqrt{2}$|=2$\sqrt{2}$；
又∵C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n，
故c₂=3$\sqrt{2}$；
②由题意得，$\frac{|{c}_{n}-{c}_{1}|}{\sqrt{2}}$=2+3+4+…+n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$；
故|c_n-$\sqrt{2}$|=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$；
故c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$；
则直线x-y+C_n=0与x轴、y轴围成图形的面积
S=$\frac{1}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$；
（2）若C₁=-10$\sqrt{2}$，则c_n=$\frac{（n+2）（n-1）}{2}$$\sqrt{2}$-10$\sqrt{2}$，
则d_n=$\frac{|\frac{（n+2）（n-1）}{2}\sqrt{2}-10\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|$\frac{{n}^{2}+n-22}{2}$|；
而d₄=1，d₅=4；
故d_n的最小值为1．

点评 本题考查了数列与函数的综合应用，同时考查了平行线的距离公式与应用，属于中档题．