Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n ，且a_n=S_n•S_n-1（n≥2），a₁=$\frac{2}{9}$，则a₁₀=$\frac{4}{63}$．

Answer 1

分析 a_n=S_n•S_n-1（n≥2），可得S_n-S_n-1=S_nS_n-1，变形为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-1，利用等差数列的通项公式可得S_n，再利用递推式可得a_n．

解答 解：∵a_n=S_n•S_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-1，∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{9}{2}$，公差为-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{9}{2}-（n-1）$，
化为S_n=$\frac{2}{11-2n}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{11-2n}-\frac{2}{13-2n}$．
∴a₁₀=$\frac{2}{11-20}-\frac{2}{13-20}$=$\frac{4}{63}$．
故答案为：$\frac{4}{63}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．