Question

16．在等比数列{a_n}中，对于任意n∈N^*都有a_n+1a_2n=3ⁿ，则a₁a₂…a₆=729．

Answer 1

分析 通过等比数列的定义及a_n+1a_2n=3ⁿ可得公比及a₂，利用等比中项的性质计算即可．

解答 解：∵a_n+1a_2n=3ⁿ，∴a_n+2a_2（n+1）=3ⁿ⁺¹，
∴q³=$\frac{{a}_{n+2}{a}_{2（n+1）}}{{a}_{n+1}{a}_{2n}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n}}$=3，即q=$\root{3}{3}$，
∵a₂a₂=3¹，∴a₂=$\sqrt{3}$，∴a₅=${a}_{2}•{q}^{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴a₂•a₅=$\sqrt{3}•3\sqrt{3}$=9，
∴a₁a₂…a₆=（a₁•a₆）（a₂•a₅）（a₃•a₄）=9³=729，
故答案为：729．

点评 本题考查求数列前几项的乘积，注意解题方法的积累，属于中档题．