Question

5．如图，A，B是椭圆W：$\frac{x^2}{3}$+y²=1的两个顶点，过点A的直线与椭圆W交于另一点C．
（Ⅰ）当AC的斜率为$\frac{1}{3}$时，求线段AC的长；
（Ⅱ）设D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D．求直线AC的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当AC的斜率为$\frac{1}{3}$时，可得直线AC的方程，代入椭圆方程，求出C的坐标，即可求线段AC的长；
（Ⅱ）设直线AC的方程为y=kx-1，k≠0，求出点C、D的坐标，利用D是AC的中点，且以AB为直径的圆恰过点D，得到|OD|=1，即可求直线AC的斜率．

解答 解：（Ⅰ）由已知A（0，-1），
直线AC的方程为$y=\frac{1}{3}x-1$．…（1分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$得2x²-3x=0，…（2分）
解得$x=\frac{3}{2}$或x=0（舍），…（3分）
所以点C的坐标为$（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，…（4分）
所以$|{AC}|=\sqrt{{{（\frac{3}{2}）}^2}+{{（-\frac{1}{2}+1）}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．…（5分）
（Ⅱ）依题意，设直线AC的方程为y=kx-1，k≠0．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（3k²+1）x²-6kx=0，…（7分）
解得$x=\frac{6k}{{3{k^2}+1}}$或x=0（舍），…（8分）
所以点C的横坐标为$\frac{6k}{{3{k^2}+1}}$，
设点D的坐标为（x₀，y₀），则${x_0}=\frac{3k}{{3{k^2}+1}}$，…（9分）${y_0}=k{x_0}-1=\frac{-1}{{3{k^2}+1}}$，…（10分）
因为以AB为直径的圆恰过点D，所以|OD|=1，
即${（\frac{3k}{{3{k^2}+1}}）^2}+{（\frac{-1}{{3{k^2}+1}}）^2}=1$．…（11分）
整理得${k^2}=\frac{1}{3}$，…（12分）
所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．