Question

11．如图过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，则椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的“左特征点”M的坐标为（　　）

• A． （-2，0）
• B． （-3，0）
• C． （-4，0）
• D． （-5，0）

Answer 1

分析 设M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设直线AB方程代入椭圆方程，由∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，利用韦达定理，即可求得结论．

解答 解：设M（m，0）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左特征点，椭圆的左焦点F（-1，0），
可设直线AB的方程为x=ky-1（k≠0）
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得：3（ky-1）²+4y²=12，即（3k²+4）y²-6ky-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$
∵∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}=0$，
即y₁（ky₂-1）+y₂（ky₁-1）-（y₁+y₂）m=0
∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+1）=0
于是，2k×（-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$）-$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$×（m+1）=0
∵k≠0，∴-18-6（m+1）=0，即m=-4，∴M（-4，0）．
故选：C．

点评 本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky-2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．