Question

1．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），设圆C的半径为，且圆心C在直线l：y=2x-4上．
（Ⅰ）若圆心C又在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求此切线的方程；
（Ⅱ）若圆C上存在点M，使得|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立两直线方程求得圆心C的坐标，则圆的方程可得，设出切线方程，利用点到直线的距离求得k，则直线的方程可得．
（Ⅱ）设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．

解答 M解：（Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得圆心C为（3，2），因为圆C的半径为1，
所以圆C的方程为：（x-3）²+（y-2）²=1．
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0．
所以$\frac{|3k-2+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=0或-$\frac{3}{4}$．
则所求圆C的切线方程为：y=3或3x+4y-12=0．
（Ⅱ）因为圆C的圆心在直线y=2x-4上，所以设圆心C为（a，2a-4），
则圆C的方程为：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1．
又|MA|=2|MO|，设m为（x，y），则$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$．
整理得：x²+（y+1）²=4，设该方程对应的圆为D，
所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2-1|≤$\sqrt{{a}^{2}+[2a-4）-（-1）]^{2}}$≤|2+1|．
由5a²-12a+8≥0，得a∈R．
由5a²-12a≤0得0≤a≤$\frac{12}{5}$．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，$\frac{12}{5}$]．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．