Question

19．已知直线l：x-y+m=0与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{5}{9}$内，则m的取值范围为（　　）

• A． m≥1或m≤-1
• B． -$\sqrt{3}$≤m≤-1或1≤≤m≤$\sqrt{3}$
• C． -1≤m≤1
• D． -$\sqrt{3}$＜m≤-1或1≤m＜$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m的取值范围．

解答 解：联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0，
则△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，①
x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，
y₁+y₂=x₁+x₂+2m=$\frac{2m}{3}$，
即AB的中点为（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{1}{3}$m），
又∵线段AB的中点不在圆x²+y²=$\frac{5}{9}$内，
∴$\frac{4{m}^{2}}{9}$+$\frac{{m}^{2}}{9}$≥$\frac{5}{9}$，
解得，m≤-1或m≥1，②
由①②得：-$\sqrt{3}$＜m≤-1或1≤m＜$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．