Question

9．如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明，M是BD的一个三等分点．

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{BM}$两次表示，利用向量分解定理，即可得出结论．

解答 证明：设$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BD}$，∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AD}$，∴$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{BA}$+t$\overrightarrow{BC}$．
又∵$\overrightarrow{BM}$=k$\overrightarrow{BA}$+（1-k）$\overrightarrow{BE}$=k$\overrightarrow{BA}$+（1-k）$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$（1-k）$\overrightarrow{CD}$
=$\frac{1}{2}$（1+k）$\overrightarrow{BA}$+（1-k）$\overrightarrow{BC}$．
由向量分解定理，$\overrightarrow{BM}$的表示是唯一的，
∴t=$\frac{1}{2}$（1+k）且t=1-k，解得：t=$\frac{2}{3}$，即M是BD的一个三等分点．

点评 本题考查向量分解定理，考查学生的计算能力，正确表示向量是关键．