Question

3．已知椭圆W：$\frac{x^2}{4}$+y²=1，直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．
（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为$\frac{3}{2}$时，求线段OC的长；
（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当直线l的斜率为$\frac{3}{2}$时，直线l的方程为y=$\frac{3}{2}$x-2，代入椭圆方程，求出C的坐标，即可求线段OC的长；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-2，代入椭圆方程，利用△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）当直线l的斜率为$\frac{3}{2}$时，直线l的方程为y=$\frac{3}{2}$x-2．…（1分）
代入椭圆方程得5x²-12x+6=0，…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
则${x_1}+{x_2}=\frac{12}{5}$，…（3分）
所以点C的坐标${x_0}=\frac{6}{5}$，${y_0}=\frac{3}{2}{x_0}-2=-\frac{1}{5}$，…（4分）
所以$|{OC}|=\sqrt{{{（\frac{6}{5}）}^2}+{{（-\frac{1}{5}）}^2}}=\frac{{\sqrt{37}}}{5}$．…（5分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx-2，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx-2\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-16kx+12=0，…（6分）
所以△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）…（7分）
${x_1}+{x_2}=\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$．…（8分）
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{16k}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4×\frac{12}{{1+4{k^2}}}}$=$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}$．…（10分）
原点O到直线l的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．…（11分）
所以△OAB面积为$\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}•\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}$．
因为△OAB面积等于1，
所以$\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}=1$，…（12分）
解得$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，…（13分）
带入判别式检验，符合题意，所以$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．