Question

18．已知点P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，F₁F₂分别是其左、右焦点，若|PF₁|=2|PF₂|，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$]
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）
• D． [$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 由椭圆的第二定义结合|PF₁|=2|PF₂|，可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），解得x=$\frac{a}{3e}$，由题意可得-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，解不等式求得离心率e的取值范围．

解答 解：设点P的横坐标为x，∵|PF₁|=2|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2•e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x），
∴x=$\frac{a}{3e}$，由题意可得-a≤$\frac{a}{3e}$≤a，
∴$\frac{1}{3}$≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1），
故选：D．

点评 本题考查椭圆的第二定义，考查椭圆的简单性质的应用，灵活运用椭圆第二定义是解答该题的关键，是中档题．