Question

12．如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，CE为圆O的直径，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，且AE=1
（1）求异面直线CB与DE所成角的大小；
（2）将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体体积．

Answer 1

分析 （1）说明∠ADE为异面直线CB与DE所成的角，在Rt△AED中，求解即可．
（2）所求问题实际是将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．求解即可．

解答 解：（1）因为CB∥DA，AE⊥DE垂直于圆AE⊥DE所在平面，所以AE⊥DE，
所以，∠ADE为异面直线CB与DE所成的角 …2分
在Rt△AED中，AE=1，DA=2，所以$sin∠ADE=\frac{1}{2}$，得$∠ADE=\frac{π}{6}$，
即异面直线CB与DE所成的角为$\frac{π}{6}$．…5分
（2）由题意知，将△ACD（及其内部）绕AE所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两圆锥的体积之差．
因为异面直线CB与DE所成的角为$\frac{π}{6}$，且CB∥DA，所以$∠ADE=\frac{π}{6}$，…7分
又因为AE=1，所以，在Rt△AED中，$DE=\sqrt{3}$，DA=2…9分
因为CE为圆O的直径，所以$∠CDE=\frac{π}{2}$，
在Rt△CDE中，CD=DA=2，$DE=\sqrt{3}$，所以$CE=\sqrt{7}$…10分
所以该几何体的体积$V=\frac{1}{3}π•C{E^2}•AE-\frac{1}{3}π•D{E^2}•AE=\frac{4}{3}π$…12分．

点评 本题考查几何体的体积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．