Question

3．若一个正实数能写成$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$（n∈N^*）的形式，则称其为“兄弟数”，求证：
（1）若x为“兄弟数”，则x²也为“兄弟数”；
（2）若x为“兄弟数”，k是给定的正奇数，则x^k也为“兄弟数”．

Answer 1

分析 （1）x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，x²=2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$=$\sqrt{4{n}^{2}+4n+1}$+$\sqrt{4{n}^{2}+4n}$，可得结论；
（2）设x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，y=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，则xy=1，证明x^k=$\sqrt{{a}^{2}（n+1）}$+$\sqrt{{b}^{2}n}$，即可证明x^k也为“兄弟数”．

解答 证明：（1）x为“兄弟数”，则x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，
x²=2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$=$\sqrt{4{n}^{2}+4n+1}$+$\sqrt{4{n}^{2}+4n}$，
∴x²也为“兄弟数”；
（2）设x=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$，y=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，则xy=1，
x^k=$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（$\sqrt{n}$）ⁱ，y^k=$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（-$\sqrt{n}$）ⁱ，
∴x^k+y^k=$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（$\sqrt{n}$）ⁱ+$\sum_{i=0}^{k}$C_kⁱ（$\sqrt{n+1}$）^k-i（-$\sqrt{n}$）ⁱ
=2[C_k⁰（$\sqrt{n+1}$）^k+C_k²（$\sqrt{n+1}$）^k-2n+…+C_k^k-1$\sqrt{n+1}$$•{n}^{\frac{k-1}{2}}$]．
不妨记x^k+y^k=2a$\sqrt{n+1}$，
同理x^k-y^k=2b$\sqrt{n}$，
∴x^k=$\sqrt{{a}^{2}（n+1）}$+$\sqrt{{b}^{2}n}$，
∵4a²（n+1）-4b²n=（x^k+y^k）²-（x^k-y^k）²=4x^ky^k=4，
∴a²（n+1）=b²n+1
∴x^k也为“兄弟数”．

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．