Question

14．设λ∈R，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（{cosx，sinx}），\overrightarrow b=（{λsinx-cosx，cos（\frac{π}{2}-x）}）$，
已知f（x）满足$f（{-\frac{π}{3}}）=f（0）$
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求不等式f′（x）＞2$\sqrt{3}$的解集．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及二倍角个公式化简已知条件，求出λ，然后通过两角和的正弦函数以及正弦函数的单调性求解即可．
（2）求出函数的导数，利用三角函数线求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=cosx（{λsinx-cosx}）+sinxcos（{\frac{π}{2}-x}）$=λsinxcosx-cos²x+sin²x=$\frac{λ}{2}sin2x-cos2x$…（2分）∵$f（-\frac{π}{3}）=f（0）\begin{array}{\;}\end{array}\right.$，∴$λ=2\sqrt{3}$…（3分）
∴$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，
得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（{k∈Z}）$；
∴f（x）的单调递增区间是$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（{k∈Z}）$，…（7分）
（2）∵$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）\begin{array}{\;}，\end{array}\right.$∴$f′（x）=4cos（2x-\frac{π}{6}）$，
∵$f′（x）＞2\sqrt{3}$，$\begin{array}{\;}∴cos（2x-\frac{π}{6}）\end{array}\right.$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$2kπ-\frac{π}{6}＜2x-\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{6}（{k∈Z}）$，∴$kπ＜x＜kπ+\frac{π}{6}（{k∈Z}）$．
∴$f'（x）＞2\sqrt{3}$的解集是$\left\{{x|kπ＜x＜kπ+\frac{π}{6}（{k∈Z}）}\right\}$．…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，函数的导数以及三角函数线的应用，考查计算能力．