Question

5．已知以点P为圆心的圆经过点A（-1，1）和B（1，3），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．
（Ⅰ）求直线CD的方程；
（Ⅱ）求圆P的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得直线AB的斜率和AB的中点，进而求得CD斜率，利用点斜式取得直线CD 方程．
（Ⅱ）设出圆心P的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定a和b的等式综合求得a和b，则圆的方程可得．

解答 解：（Ⅰ）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（0，2），
∴直线CD的斜率为-1，
∴直线CD方程为y-2=-x，即x+y-2=0
（Ⅱ）设圆心P（a，b），则由P在CD上，得a+b-2=0①
又直径|CD|=4，∴|PA|=2，（a+1）²+（b-1）²②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\end{array}\right.$
∴圆心P（1，1）或P（-1，3），
∴圆P的方程为（x-1）²+（y-1）²=4
和（x+1）²+（y-3）²=4．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．