Question

17．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱BB₁⊥底面A₁B₁C₁，D为AC 的中点，A₁B₁=BB₁=2，A₁C₁=BC₁，∠A₁C₁B=60°．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求多面体A₁B₁C₁DBA的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB₁∥平面BDC₁，证明OD∥AB₁即可；
（Ⅱ）利用割补法，即可求多面体A₁B₁C₁DBA的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连B₁C交BC₁于O，连接OD，在△CAB₁中，O，D分别是B₁C，AC的中点，∴OD∥AB₁，
而AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）解：连接A₁B，作BC的中点E，连接DE，
∵A₁C₁=BC₁，∠A₁C₁B=60°，
∴△A₁C₁B为等边三角形，
∵侧棱BB₁⊥底面A₁B₁C₁，
∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥B₁C₁，
∴A₁C₁=BC₁=A₁B=2$\sqrt{2}$，
∴B₁C₁=2，
∴A₁C₁²=B₁C₁²+A₁B₁²，
∴∠A₁B₁C₁=90°，∴A₁B₁⊥B₁C₁，
∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CB，
∵DE∥AB∥A₁B₁，
∴DE⊥平面B₁C₁CB，
∴DE是三棱锥D-BCC₁的高，
∴${V}_{D-BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}××2×\frac{1}{2}×2$=$\frac{2}{3}$，
∴多面体A₁B₁C₁DBA的体积V=${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-ABC}$-${V}_{D-B{C}_{1}C}$=（$\frac{1}{2}×2×2$）×2-$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，及线面垂直的判定，考查多面体A₁B₁C₁DBA的体积，解题的关键是正确运用割补法．