Question

12．已知圆C过点O（0，0），A（-1，-7）和B（8，-4）
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆的标准方程，代入三个点的坐标，求得D，E，F则圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，利用点到直线的距离求得m，则可求得直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，
故$\left\{\begin{array}{l}F=0\\ 50-D-7E+F=0，80+8D-4E+F=0\end{array}$解此方程组，得D=-6，E=8，F=0．
故所求圆C的方程为x²+y²-6x+8y=0．
（Ⅱ）直线AB的方程为x-3y-20=0，故设直线l的方程为3x+y+m=0．
由题意，圆心C（3，-4）到直线AB与直线l的距离相等，
故有$\frac{|3-3×（-4）-20|}{\sqrt{12+（-3）2}}$=$\frac{|3×3+（-4）+m|}{\sqrt{32+12}}$，
解得m=0或m=-10．
所以直线l的方程为3x+y=0或3x+y-10=0．

点评 本题主要考查了直线与圆的问题的综合运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．