Question

7．已知点P到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y），求$\frac{y-2}{x-1}$的取值范围；
（Ⅲ）若点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|²+|QC|²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过题意，利用两点间距离公式计算即得结论；
（Ⅱ）记K（1，2），通过将$\frac{y-2}{x-1}$视为直线PK的斜率，利用直线与圆的位置关系计算即得结论；
（Ⅲ）通过设Q（2+2cosθ，2+2sinθ），利用两点间距离公式及三角函数的有界性即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设点P（x，y），
∵点P到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，即x²+y²-4x=0，
化简可得：（x-2）²+y²=4，
∴点P（x，y）的轨迹是以M（2，0）为圆心，2为半径的圆，
其轨迹方程为：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）记K（1，2），则$\frac{y-2}{x-1}$可视为直线PK的斜率，
设直线PK的斜率为k，则直线PK的方程为：y-2=k（x-1），
即：kx-y+2-k=0，
由于点K在圆M外，当直线PK与圆M相切时有：$\frac{|2k+2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
解得：k=0或k=$\frac{4}{3}$，
∴k的取值范围为：k∈[$\frac{4}{3}$，+∞）∪（-∞，0]，
∴$\frac{y-2}{x-1}$的取值范围为：（-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）；
（Ⅲ）由题可得，点Q的轨迹是以N（2，2）为圆心，2为半径的圆N，
设Q（2+2cosθ，2+2sinθ），
则|QA|²=（2+2cosθ+2）²+（2+2sinθ）²=24+16cosθ+8sinθ，
|QC|²=（2+2cosθ-3）²+（2+2sinθ）²=9-4cosθ+8sinθ，
∴|QA|²+|QC|²=33+12cosθ+16sinθ=33+20sin（θ+φ），其中tanφ=$\frac{3}{4}$，
当sin（θ+φ）=1时|QA|²+|QC|²取最大值，当sin（θ+φ）=-1时|QA|²+|QC|²取最小值，
∴|QA|²+|QC|²的最大值、最小值分别为：53、13．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到直线与圆的位置关系、三角函数有界性、两点间距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．