Question

9．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）+2a-1≥f（x+a）．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法，我们可得f（x）≤m的解集a-m≤x≤a+m，再由已知中f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，由此可以构造一个关于a，m的二元一次方程组，解方程组，即可得到答案；
（2）讨论当x≥a时，当x≤0时，当0＜x＜a时，去绝对值，解不等式，再讨论a的范围，即可得到．

解答 解：（1）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a-m=-1}\\{a+m=5}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=3}\end{array}\right.$．
（2）f（x）+2a-1≥f（x+a）即为
|x-a|+2a-1≥|x|，
当x≥a时，x-a+2a-1≥x，即为a≥1，
当x≤0时，a-x+2a-1≥-x，即为a≥$\frac{1}{3}$，
当0＜x＜a时，a-x+2a-1≥x，解得x≤$\frac{3a-1}{2}$，
当a≥1时，即有x≥a或x≤0或0＜x＜a，
当0＜a＜$\frac{1}{3}$时，x∈∅，
当$\frac{1}{3}$≤a＜1时，x∈∅或x≤0或0＜x≤$\frac{3a-1}{2}$，
则当a≥1时，解集为R，
当0＜a＜$\frac{1}{3}$时，解集为∅，
当$\frac{1}{3}$≤a＜1时，解集为（-∞，$\frac{3a-1}{2}$]．

点评 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，“零点分段法”去掉绝对值符号，将原不等式转化为整式不等式和运用分类讨论的思想方法，是解答本题的关键．