Question

17．已知函数f（x）=ax³-x²+1在（0，1）上有增区间，则a的取值范围是$（\frac{2}{3}，+∞）$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导函数在（0，1）上有极值点，导函数有零点，或导函数非负，求解a的范围即可．

解答 解：函数f（x）=ax³-x²+1．
可得f′（x）=3ax²-2x．
函数f（x）=ax³-x²+1在（0，1）上有增区间，可知导函数在（0，1）上有极值点，
导函数在（0，1）上有解，或a=0时，3ax²-2x≥0恒成立（显然不成立）．
可得$\frac{2}{3a}∈（0，1）$，解得：a$＞\frac{2}{3}$，
故答案为：$（\frac{2}{3}\;，\;+∞）$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调区间的求法，考查计算能力．