Question

7．已知曲线C₁=$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，曲线C₂：ρ=sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+y-8=0，求曲线C₁上的点到直线l的最短距离．

Answer 1

分析 （I）利用cos²θ+sin²θ=1可把曲线C₁=$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$化为普通方程；曲线C₂：ρ=sinθ化为ρ²=ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（Ⅱ）设曲线C₁上任意一点P的坐标为$（{2cosθ，\sqrt{3}sinθ}）$，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性有界性即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.⇒\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
曲线${C_2}：ρ=sinθ⇒{ρ^2}=ρsinθ⇒{x^2}+{y^2}-y=0$．
（Ⅱ）设曲线C₁上任意一点P的坐标为$（{2cosθ，\sqrt{3}sinθ}）$，
则点P到直线l的距离为
$\begin{array}{l}\frac{{|{2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}\\=\frac{{|{\sqrt{7}sin（{θ+φ}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}\\≥\frac{{8-\sqrt{7}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{8\sqrt{2}-\sqrt{14}}}{2}\end{array}$
其中$sinφ=\frac{2}{{\sqrt{7}}}，cosφ=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$，当sin（θ+φ）=1时等号成立．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式与三角函数的单调性有界性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．