Question

4．设F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线交椭圆于M，N两点，且|F₂M|+|F₂N|=5，|MN|=3，椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F2且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在实数t，使得$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=t恒成立？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，结合离心率，即可求椭圆的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理求得弦长，化简，即可得到结论．

解答 解：（1）∵|F₂M|+|F₂N|=5，|MN|=3，
∴4a=8，
∴a=2，
∵椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程是y=k（x-1），
代入椭圆方程并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
根据弦长公式，|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
以-$\frac{1}{k}$代换k，得|CD|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+4}$
∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$
当直线AB的斜率不存在或等于零时，|AB|，|CD|一个是椭圆的长轴长度，一个是通径长度，∴$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=$\frac{7}{12}$
综上所述，故存在实数t=$\frac{7}{12}$，使得$\frac{1}{|AB|}$+$\frac{1}{|CD|}$=t恒成立．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．