Question

19．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin2A=$\frac{8}{5}$sinA，b=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{m}$=（c-a，b+c），$\overrightarrow{n}$=（a，b-c），
$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求sinA；
（2）求角B与c．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角公式和同角的平方关系，可得sinA；
（2）运用斜率的数量积的坐标表示和余弦定理，可得B，再由两角差的正弦公式和正弦定理，即可得到c．

解答 解：（1）∵△ABC中，$2sinAcosA=sin2A=\frac{8}{5}sinA$，
∴$cosA=\frac{4}{5}$，
由A∈（0，π）∴$sinA=\frac{3}{5}$；
（2）∵$\overrightarrow{m}$=（c-a，b+c），$\overrightarrow{n}$=（a，b-c），$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n=ac-{a^2}+{b^2}-{c^2}=0$，
即$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
由B∈（0，π）∴B=$\frac{π}{3}$，
∴$A+C=\frac{2π}{3}$，
∴$sinC=sin（\frac{2π}{3}-A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{4}{5}+\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{{3+4\sqrt{3}}}{10}$，
∵$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$                  
∴$c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{\sqrt{3}•\frac{{3+4\sqrt{3}}}{10}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{3+4\sqrt{3}}}{5}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和同角的平方关系、两角和差的正弦公式，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和正弦、余弦定理的运用，属于中档题．