Question

7．若直线l：ax-by=1与不等式组$\left\{\begin{array}{l}y＜1\\ 3x-y-2＜0\\ 3x+y+2＞0\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点，则3a-2b的最小值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $-\frac{11}{2}$
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax-by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}y＜1\\ 3x-y-2＜0\\ 3x+y+2＞0\end{array}\right.$表示的平面区域是由A（-1，1），B（1，1），C（0，-2）围成的三角形区域（不包含边界）．
若直线l：ax-by=1与不等式组$\left\{\begin{array}{l}y＜1\\ 3x-y-2＜0\\ 3x+y+2＞0\end{array}\right.$表示的平面区域无公共点，
则A，B，C三点在直线l的同侧或在直线上，
则满足$\left\{\begin{array}{l}-a-b≥1\\ a-b≥1\\ 2b≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-a-b≤1\\ a-b≤1\\ 2b≤1\end{array}\right.$．
则（a，b）在如图所示的三角形区域．
设z=3a-2b，得b=$\frac{3}{2}$a-$\frac{z}{2}$，
平移直线b=$\frac{3}{2}$a-$\frac{z}{2}$，
得到直线在A处的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}2b=1\\-a-b=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
此时z=3×（-$\frac{3}{2}$）-2×$\frac{1}{2}$=-$\frac{11}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．