Question

15．已知函数f（x）=alnx-ax-3，a∈R，
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，函数$g（x）={x^3}+{x^2}[{f'（x）+\frac{m}{2}}]$在区间（t，3）上总不是单调函数，求m取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用函数的单调性求解函数的极值即可．
（ II）利用函数的导数，当a＞0时，当a=0时，当a＜0时，求解函数得到单调区间．
（ III）利用已知条件化简函数g（x），求出函数的导数，通过g′（x）=0有一正一负的两个实数根．利用根的分别列出不等式组求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=lnx-x-3，f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
∴f′（x）＜0⇒x＞1，f′（x）＞0⇒0＜x＜1
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
所以f（x）有极大值，极大值为f（1）=-4，无极小值． （4分）
（ II）∵$x＞0，f'（x）=\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$，
∴当a＞0时，f（x）在（0，1）↑，在（1，+∞）↓
当a=0时，f（x）=-3，无单调区间，
当a＜0时，f（x）在（0，1）↓，在（1，+∞）↑（8分）
（ III）∵f′（2）═1，∴$\frac{a}{2}-a=1∴a=-2∴f（x）=-2lnx+2x-3$
g（x）=x³+x²（-$\frac{2}{x}+2+\frac{m}{2}$）=x³+（$\frac{m}{2}+2$）x²-2x
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
令g′（x）=0，
∴3x²+（m+2）x-2=0，△=（m+2）²+24＞0
${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{3}＜0$，∴g′（x）=0有一正一负的两个实数根．
又t∈[1，2]，x∈（t，3）∵g（x）在（t，3）不单调，
∴g′（x）=0在（t，3）上只有一个正实根
∴$\left\{\begin{array}{l}g'（t）＜0\\ g'（3）＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}3{t^2}+（m+4）t-2＜0\\ 27+（m+4）×3-2＞0\end{array}\right.⇒$$\left\{\begin{array}{l}（m+4）t＞2-3{t^2}\\ m＞-\frac{37}{3}\end{array}\right.$，
因为t∈[1，2]恒成立$\left\{\begin{array}{l}m+4＜\frac{2}{t}-3t\\ m＞-\frac{37}{3}\end{array}\right.$，
令$h（t）=\frac{2}{t}-3t$，可证$h（t）=\frac{2}{t}-3t在t∈[1，2]↓∴h{（t）_{min}}=h（2）=-5$
$\left\{\begin{array}{l}m+4＜-5\\ m＞-\frac{37}{3}\end{array}\right.$⇒$-\frac{37}{3}＜m＜-9$．（14分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，根的分别，考查分析问题解决问题的能力．