Question

5．若函数f（x）=sinxcosx+a（sinx+cosx）的定义域为[0，$\frac{π}{2}$]，若a≥-1，且函数f（x）的最大值比最小值大$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 设t=sinx+cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，运用两角和的正弦公式，可得t的范围，再两边平方可得sinxcosx的式子，再由二次函数的值域求法，注意判断对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最值，进而解方程可得a的值．

解答 解：设t=sinx+cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
可得t的范围是[1，$\sqrt{2}$]，
由t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2inxcosx，
即有sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
则y=f（x）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+at=$\frac{（t+a）^{2}-1-{a}^{2}}{2}$，
由于t=-a≤1，即有区间[1，$\sqrt{2}$]为增区间，
则t=1取得最小值，且为a，
t=$\sqrt{2}$取得最大值，且为$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$a，
由题意可得$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$a-a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，主要考查正弦函数的图象和性质，同时考查二次函数的值域，注意对称轴和区间的关系，属于中档题．