Question

2．已知圆C经过点A（0，2）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线m过点（1，4），且被圆C截得的弦长为6，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆心的坐标，利用半径相等求得t，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得．
（2）先看斜率不存在时是否符合．进而看斜率存在时设出直线m的方程，利用点到直线和距离和勾股定理建立等式求得k，则直线的方程可得．

解答 （1）解：设圆心的坐标为（t，t+1），
则有t²+（t-1）²=（t-2）²+（t+3）²，
整理求得t=-3，
故圆心为（-3，-2），r²=t²+（t-1）²=25，
则圆的方程为（x+3）²+（y+2）²=25．
（2）当直线m的斜率不存在时，方程为x=1，被圆截得的弦长2d=2×$\sqrt{25-16}$=6，符合，
当直线的斜率不存在时，设直线m的方程为y-4=k（x-1）整理得，kx-y+4-k=0，
圆心到直线的距离为$\frac{|-3k+2+4-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{25-9}$=4，求得k=$\frac{5}{12}$．
则直线的方程为$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{43}{12}$=0，
综合知直线m的方程为x=1或$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{43}{12}$=0．

点评 本题主要考查了直线的圆的问题的综合运用．利用数形结合思想是解决问题的常用办法．