Question

3．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[π，2π]，若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}（{ρ＞0，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]}）$，那么C₁上的点到曲线C₂上的点的距离的最小值为$2\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[π，2π]，利用cos²θ+sin²θ=1即可化为直角坐标方程．曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}（{ρ＞0，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]}）$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得到直角坐标方程．即可得出C₁上的点到曲线C₂上的点的距离的最小值．

解答 解：曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[π，2π]，化为（x+4）²+y²=1，可得圆心C₁（-4，0），半径r=1．
曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}（{ρ＞0，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]}）$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
∴y+x-2=0．（x，y≥0）．
∴C₁上的点到曲线C₂上的点的距离的最小值d=$\sqrt{（-4）^{2}+{2}^{2}}$-1=2$\sqrt{5}$-1．
故答案为：$2\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．