Question

13．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-5，-4]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（cosβ）
• D． f（cosα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 根据已知条件能够得到f（x）是周期为2的周期函数，且在[0，1]上单调递增，再根据α，β为锐角三角形的两个锐角即可得到1＞sin＞cosβ＞0，从而根据f（x）在[0，1]上的单调性即可得出f（sinα）＞f（cosβ）．

解答 解：由f（x+1）=-f（x）得，f（x+2）=f（x）；
∴f（x）是以2为周期的周期函数；
∵f（x）是R上的偶函数，且在[-5，-4]上是减函数；
∴f（x）在[4，5]上为增函数；
4≤x≤5，0≤x-4≤1；
∴f（x）在[0，1]上为增函数；
α，β是锐角三角形的两个锐角；
∴$α+β＞\frac{π}{2}$；
∴$α＞\frac{π}{2}-β$，且$α，\frac{π}{2}-β∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$sinα＞sin（\frac{π}{2}-β）=cosβ$，且sinα，cosβ∈（0，1）；
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故选：A．

点评 考查周期函数的定义，偶函数的定义，以及偶函数在对称区间上的单调性特点，知道周期函数经过k个周期后，该函数单调性不变，锐角三角形两内角和的范围，正弦函数的单调性，函数单调性定义的运用．