Question

8．等边三角形ABC的两个顶点坐标分别为A（4，-6），B（-2，-6），求点C的坐标．

Answer 1

分析 利用中点坐标公式可得线段AB的中点M（1，-6），再利用等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、等边三角形的高与边长的关系即可得出．

解答 解：设C（x，y），∵A（4，-6），B（-2，-6），
∴线段AB的中点M（1，-6），|AB|=$\sqrt{{6}^{2}+0}$=6，
$\overrightarrow{AB}$=（-6，0），$\overrightarrow{MC}$=（x-1，y+6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{AB}=0}\\{|\overrightarrow{MC}|=\frac{\sqrt{3}}{2}|AB|}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-6（x-1）=0}\\{\sqrt{（x-1）^{2}+（y+6）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}×6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-6±3\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴C$（1，-6±3\sqrt{3}）$．

点评 本题考查了中点坐标公式、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、等边三角形的高与边长的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．