Question

2．已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在半径为2的球O的球面上，四边形ABCD是边长为2的正方形，SC为球O的直径，则此棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意得出空间几何体的直观图，利用圆的几何知识得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，利用边长根据勾股定理得出△ABS，△ADS，为直角三角形，可得SA⊥平面ABC，即可求棱锥的体积．

解答 解：根据题意得出：
AC=2$\sqrt{2}$，SC=4，AB=BC=DC=DA=2
根据圆的几何知识得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，
∴可知SD=SB=2$\sqrt{3}$，SA=2$\sqrt{2}$，
根据勾股定理得出△ABS，△ADS，为直角三角形．
∴SA⊥AC，SA⊥AB，
∵AC∩AB=A，
∴SA⊥平面ABC，
∴棱锥的体积为$\frac{1}{3}×2×2×2\sqrt{2}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了球的内接几何体的问题，充分利用圆的知识得出直线，平面的位置关系，从而利用公式求解即可．