Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+1}{{x}^{2}}，x∈（-∞，-\frac{1}{2}）\\ ln（x+1），x∈[-\frac{1}{2}，+∞）\end{array}\right.$，g（x）=x²-4x-4，对于任意的a∈R，存在实数b使得f（a）+g（b）=0，则b的取值范围是（　　）

• A． [ln$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-1，ln$\frac{1}{2}$]
• C． （-1，5）
• D． [-1，5]

Answer 1

分析 利用基本不等式和对数函数的单调性，求出函数f（x）值域，进而根据存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，得到g（b）=b²-4b-4≤1，解不等式可得实数b的取值范围．

解答 解：当x＜-$\frac{1}{2}$时，2x+1＜0，令t=2x+1，则t＜0，且x=$\frac{t-1}{2}$，
则$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{t}{（\frac{t-1}{2}）^{2}}$=$\frac{t}{\frac{1}{4}（{t}^{2}-2t+1）}$=$\frac{4}{t+\frac{1}{t}-2}$，
∵t＜0，∴t+$\frac{1}{t}$≤-2，t+$\frac{1}{t}$-2≤-4，
即$\frac{4}{t+\frac{1}{t}-2}$∈[-1，0），
当x≥-$\frac{1}{2}$，ln（x+1）≥ln（-$\frac{1}{2}$+1）=ln$\frac{1}{2}$，
综上f（x）≥-1．
存在实数b使得f（a）+g（b）=0，
则g（b）=-f（a），
则满足g（b）=b²-4b-4≤1，
即b²-4b-5≤0，
解得-1≤b≤5，
故b的取值范围是[-1，5]，
故选：D

点评 本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用．