Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x≤2}\\{lg（x-2），x＞2}\\{-sinx，x＜0}\end{array}$则$f（f（-\frac{π}{6}））$=2$\sqrt{3}$，方程f（x）=1在x∈[-1，1]的解为1-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，即可得到结论．

解答 解：由分段函数得f（-$\frac{π}{6}$）=-sin（-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
则f（$\frac{1}{2}$）=$4\sqrt{1-（\frac{1}{2}-1）^{2}}$=$4\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{4\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
若x∈[-1，0），
由f（x）=1得-sinx=1，即sinx=-1，此时无解，
若x∈[0，1]，
由f（x）=1得4$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=1，即$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
平方得（x-1）²=$\frac{15}{16}$，
解得x-1=±$\sqrt{\frac{15}{16}}$=±$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
即x=1±$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
此时x=1-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$，1-$\frac{\sqrt{15}}{4}$

点评 本题主要考查函数值的计算以及函数方程的求解，注意分类讨论进行求解．