Question

20．若A，B，C都是正数，且A+B+C=3，则$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可得A+1+B+C=4，且A+1＞0，且B+C＞0，可得$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$）（A+1+B+C）=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（B+C）}{A+1}$+$\frac{A+1}{B+C}$]，由基本不等式求最值可得．

解答 解：A，B，C都是正数，且A+B+C=3，
∴A+1+B+C=4，且A+1＞0，且B+C＞0，
∴$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{A+1}$+$\frac{1}{B+C}$）（A+1+B+C）
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（B+C）}{A+1}$+$\frac{A+1}{B+C}$]≥$\frac{1}{4}$[5+2$\sqrt{\frac{4（B+C）}{A+1}•\frac{A+1}{B+C}}$]=$\frac{9}{4}$
当且仅当$\frac{4（B+C）}{A+1}$=$\frac{A+1}{B+C}$即A=$\frac{5}{3}$且B+C=$\frac{4}{3}$时取等号，
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，准确变形是解决问题的关键，属基础题．