Question

10．已知函数f（x）=lnx-m（x-1）．若函数f（x）在点[$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）]处的切线与直线y+x+1=0相互垂直．
（1）求m的值．
（2）求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，利用函数f（x）在点[$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）]处的切线与直线y+x+1=0相互垂直，建立方程，即可求m的值．
（2）确定函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即可求函数f（x）的最大值．

解答 解：（1）因为f（x）=lnx-m（x-1），
所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-m，
所以f′（$\frac{1}{2}$）=2-m，
因为函数f（x）在点[$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）]处的切线与直线y+x+1=0相互垂直，
所以2-m=1，
所以m=1；
（2）f（x）=lnx-（x-1），f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
所以0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＜0，
所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以x=1时，函数f（x）的最大值为0．

点评 本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最大值，正确求出导数是关键．