Question

1．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），椭圆C的上顶点与右顶点的距离为$\sqrt{3}$，过F₂的直线与椭圆C交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）点M在直线x=2上，直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂=2，求证：点M为定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的焦点坐标和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）若直线AB斜率不存在，AB：x=1．求得A，B，M的坐标，求得MA．MB的斜率，解方程可得m=1；若直线AB斜率存在，设为k，设直线AB方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，m），联立椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到m=1，进而得到定点M．

解答 解：（Ⅰ）由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=3}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得a²=2，b²=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：若直线AB斜率不存在，AB：x=1．
不妨设A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），M（2，m），
则k₁=$\frac{m-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2-1}$=m-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k₂=$\frac{m+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2-1}$=m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由k₁+k₂=2，可得2m=2，即m=1，
若直线AB斜率存在，设为k，
设直线AB方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，m），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
k₁=$\frac{k（{x}_{1}-1）-m}{{x}_{1}-2}$，k₂=$\frac{k（{x}_{2}-1）-m}{{x}_{2}-2}$，
k₁+k₂=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（3k+m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+4（k+m）}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$  
=$\frac{4{k}^{2}m+4m}{2（{k}^{2}+1）}$=2，
所以m=1，
所以定点M（2，1）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理，属于中档题．