Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，且角A为锐角，b+c=2a=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积并判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）首先，根据图象得到振幅和A=2，ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（$\frac{π}{12}$，2）代入得到φ=$\frac{π}{3}$，从而可求解析式；
（2）由f（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，结合0$＜A＜\frac{π}{2}$，可解得A=$\frac{π}{3}$，由b+c=2a=2$\sqrt{3}$，两边平方可得：b²+c²=12-2bc①，由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$可得：b²+c²=a²+bc=3+bc②，由①②可得：bc=3，结合已知b+c=2$\sqrt{3}$，可解得b=c=a=$\sqrt{3}$，从而可求△ABC为等边三角形，即可求得面积．

解答 解：（1）根据图象得到：A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，
∴T=π，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），
将点（$\frac{π}{12}$，2）代入得到2sin（$\frac{π}{6}$+φ）=2，|φ|＜$\frac{π}{2}$
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵f（A-$\frac{π}{3}$）=2sin（2A-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，故解得：2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，既有：A=$\frac{π}{3}$，
∵b+c=2a=2$\sqrt{3}$，∴两边平方可得：b²+c²=12-2bc①，
∵由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$可得：b²+c²=a²+bc=3+bc②
∴由①②可得：bc=3，结合已知，b+c=2$\sqrt{3}$可得：（2$\sqrt{3}-b$）b=3，解得：b=c=a=$\sqrt{3}$，
∴△ABC为等边三角形．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质及其运用，考查了余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．