Question

18．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，过椭圆右焦点F且斜率为I的直线l截椭圆所得弦长为$\frac{24}{7}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A、B为椭圆长轴的两个端点，作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的割线PQ，若满足∠AFP=∠BFQ，求证：割线PQ恒经过一定点．

Answer 1

分析 （1）写出直线l的方程y=x-c，由e=$\frac{1}{2}$及隐含条件得到a、b与c的关系，把椭圆方程化为仅含有c的表达式，联立直线l的方程和椭圆方程，由弦长公式求得c值，则椭圆方程可求；
（2）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），且割线PQ的方程为y=kx+m（k≠0），联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系得到P，Q两点横坐标的和与积．结合∠AFP=∠BFQ，得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}=0$，整理后再与根与系数的关系联立得到m=-4k．代入割线方程，由直线系方程得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意设l：y=x-c，①
又e=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a=2c，b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，②
联立①②，得7x²-8cx-8c²=0．
∴x₁+x₂=$\frac{8c}{7}$，x₁x₂=$-\frac{8{c}^{2}}{7}$．
∴$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{8}{7}c）^{2}-4•（-\frac{8{c}^{2}}{7}）}=\frac{24}{7}$，解得c=1．
∴$a=2，b=\sqrt{3}$．
于是C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），且割线PQ的方程为y=kx+m（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₃+x₄=$-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{3}{x}_{4}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$（*）．
由∠AFP=∠BFQ，得k_PF=-k_OF，∴$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}-1}+\frac{{y}_{4}}{{x}_{4}-1}=0$，
即y₃（x₄-1）+y₄（x₃-1）=0．
即2kx₃x₄+（m-k）（x₃+x₄）-2m=0．
将（*）代入上式得：$2k\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+（m-k）\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}-2m=0$，
化简得：m=-4k．
∴割线PQ的方程为y=k（x-4），则割线PQ恒经过一定点（4，0）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，考查了直线恒过定点问题，该题是中档题．