Question

3．在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，S是△ABC的面积，且4$\sqrt{3}$S=a²+b²+c²．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求函数f（x）=$\frac{1}{2}$cosC•sin2x+sinCcos²x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据4$\sqrt{3}$S=a²+b²+c²，利用三角形的面积公式，求出C，可得a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）先化简函数，再求出函数在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）∵4$\sqrt{3}$S=a²+b²+c²，
∴4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$absinC=a²+b²+a²+b²-2abcosC，
∴2absin（C+$\frac{π}{6}$）=a²+b²≥2ab，
∴sin（C+$\frac{π}{6}$）≥1，
∴sin（C+$\frac{π}{6}$）=1
∵C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
代入可得2ab=a²+b²，∴a=b，
∴△ABC为等边三角形；
（2）f（x）=$\frac{1}{4}$•sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
即函数的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．