Question

11．平面直角坐标系中，点A（-2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k₁，直线PB的斜率k₂，k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，点P的轨迹为曲线C₁．双曲线C₂以曲线C₁的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C₂上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k₃，直线QN的斜率k₄．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）如果k₁k₂+k₃k₄≥0，求双曲线C₂的焦距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到曲线C₁的方程；
（2）设双曲线方程为$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，Q（x₀，y₀）在双曲线上，再由直线的斜率公式，结合条件，得到b的范围，即可得到双曲线C₂的焦距的取值范围．

解答 解：（1）设P（x，y），
则${k_1}{k_2}=\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$，
∴曲线C₁的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（{x≠±2}）$；
（2）设双曲线方程为$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，
Q（x₀，y₀）在双曲线上，所以$\frac{{{y_0}^2}}{3}-\frac{{{x_0}^2}}{b^2}=1（{b＞0}）$，
∵${k_3}{k_4}=\frac{{{y_0}+\sqrt{3}}}{x_0}•\frac{{{y_0}-\sqrt{3}}}{x_0}=\frac{{{y_0}^2-3}}{{{x_0}^2}}=\frac{3}{b^2}$，
∴$-\frac{3}{4}+\frac{3}{b^2}≥0$，∴0＜b≤2，
由双曲线C₂的焦距为2$\sqrt{3+{b}^{2}}$，
故双曲线C₂的焦距的取值范围∈（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

点评 本题考查轨迹方程的求法，主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．