Question

4．已知圆x²+y²+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点分别为A，B，求：
（1）弦AB的长度；
（2）求以AB为直径的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦AB的长度；
（2）运用“圆系方程”，求出圆心坐标，由圆心在直线x+2y-3=0上，即可得出结论．

解答 解：（1）圆x²+y²+x-6y+3=0的圆心坐标为（-$\frac{1}{2}$，3），半径为$\frac{5}{2}$，
圆心到直线的距离为$\frac{|-\frac{1}{2}+6-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴弦AB的长度为2$\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{5}{4}}$=2$\sqrt{5}$；
设所求圆的方程为x²+y²+x-6y+3+λ（x+2y-3）=0，整理，得：x²+y²+（1+λ）x+（2λ-6）y+3-3λ=0，
此圆的圆心坐标是：（-$\frac{1+λ}{2}$，3-λ），
由圆心在直线x+2y-3=0上，得-$\frac{1+λ}{2}$+2（3-λ）-3=0   
解得λ=1．
故所求圆的方程为：x²+y²+2x-4y=0．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，运用了“圆系方程”，简化了过程．