Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx+sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，所对的边分别为a，b，c，若cosB=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的运算、二倍角公式和辅助角公式化简f（x），在求出函数的最小正周期；
（2）由（1）化简f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，根据内角的范围求出A，再由正弦定理求出b，利用内角和定理、诱导公式和两角和的正弦公式求出sinC，代入三角形的面积公式求值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由（1）得，f（$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$，
则$sin（A+\frac{π}{4}）$=1，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，
则$A+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$A=\frac{π}{4}$，
∵cosB=$\frac{4}{5}$，且0＜B＜π，∴sinB=$\frac{3}{5}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，则b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
∵sinC=sin（A+B）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×\frac{6\sqrt{2}}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{42}{25}$．

点评 本题考查了向量数量积的运算，三角函数恒等变换的公式，正弦函数的性质，以及正弦定理、内角和定理，三角形的面积公式等，考查的知识点较多，属于中档题．