Question

18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=2BE=4．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求$\frac{AF}{AB}$的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件便可证明平面BCE∥平面PAD，从而便得到CE∥平面PAD；
（Ⅱ）首先分别以AB，AD，AP三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，要使平面DEF⊥平面PCE，便有这两平面的法向量垂直，设F（a，0，0），平面PCE的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{m}$，同样的办法表示出平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$，根据$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$即可求出a，从而求出$\frac{AF}{AB}$．

解答 解：（Ⅰ）证明：BE∥PA，PA?平面PAD，BE?平面PAD；
∴BE∥平面PAD；
同理，∵ABCD为正方形，∴BC∥AD，∴BC∥平面PAD；
又BC∩BE=B；
∴平面EBC∥平面PAD，CE?平面EBC；
∴CE∥平面PAD；
（Ⅱ）分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：

B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0）；
∴$\overrightarrow{PC}=（4，4，-4）$，$\overrightarrow{PE}=（4，0，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，4，-4）$；
设平面PCE的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$；
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2x-z=0}\end{array}}\right.$；
令x=1，则$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\\{z=2}\end{array}}\right.$，∴$\overrightarrow m=（1，1，2）$；
可设F（a，0，0），则$\overrightarrow{FE}=（4-a，0，2）$，$\overrightarrow{DE}=（4，-4，2）$；
设平面DEF的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2x-2y+z=0}\\{（4-a）x+2z=0}\end{array}}\right.$；
令x=2，则$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{a}{2}}\\{z=a-4}\end{array}}\right.$，∴$\overrightarrow n=（2，\frac{a}{2}，a-4）$；
由平面DEF⊥平面PCE，得$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，即$2+\frac{a}{2}+2a-8=0$，$a=\frac{12}{5}＜4$；
∴点$F（\frac{12}{5}，0，0）$；
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{3}{5}$．

点评 考查线面平行、面面平行的判定定理，通过证明直线所在平面和另一平面平行来证明线面平行的方法，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决面面垂直问题的方法．以及平面法向量的概念及求法，两非零向量垂直的充要条件．