Question

8．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是平面A₁BC₁内一动点，且满足|PD|+|PB₁|=2+$\sqrt{13}$，则直线B₁P与直线AD₁所成角的余弦值的取值范围为（　　）

• A． [0，$\frac{1}{2}$]
• B． [0，$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 取BC₁的中点E，作点B₁在平面A₁BC₁内的投影O，过O作OF∥BC₁交A₁B于点F，连结B₁D、A₁E，以O为坐标原点，分别以OF、OE、OB₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$计算即可．

解答 解：取BC₁的中点E，作点B₁在平面A₁BC₁内的投影O，
过O作OF∥BC₁交A₁B于点F，连结B₁D、A₁E，
以O为坐标原点，分别以OF、OE、OB₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意，易得D（0，0，-2$\sqrt{3}$），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），C₁（-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
设P（x，y，0），则$\overrightarrow{PD}$=（-x，-y，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（-x，-y，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-3$\sqrt{2}$，0，0），
∵|PD|+|PB₁|=2+$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+12}$+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+3}$=2+$\sqrt{13}$，
∴|$\overrightarrow{P{B}_{1}}$|=2，即x²+y²=1，
记α为直线B₁P与直线BC₁所成的角，则α即为直线B₁P与直线AD₁所成的角，
∴cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{3\sqrt{2}x}{2×3\sqrt{2}}$=$\frac{x}{2}$，
∵点P的轨迹在平面A₁BC₁内是以O为圆心，1为半径的单位圆，
∴-1≤x≤1，∴-$\frac{1}{2}$≤cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞≤$\frac{1}{2}$，
又∵α为锐角，∴0≤cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞≤$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查求空间中线线角的三角函数值，建立恰当的坐标系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．