Question

12．如图，过圆O外一点A分别作圆O的两条切线AB、AC，延长BA于点D，使DA=AB，直线CD交圆O于点E，AE交圆O于点F，交BC于点I，AC与DF交于点H．
（Ⅰ）证明：A、D、C、F四点共圆．
（Ⅱ）若HI∥DE，求证：△BED为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接CF，证明∠CFE=∠BDC，即可证明A、D、C、F四点共圆．
（Ⅱ）证明∠ADC=∠DBC=∠CBE，BC⊥DE，即可证明△BED为等腰直角三角形．

解答 证明：（Ⅰ）连接CF，由已知，在△BCD中，AB=AC=AD，
∴∠BCD=∠BCE=90°，
∴BE是圆O的直径．---------------------（2分）
∵∠CBE+∠DBC=90°，∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDC=∠CBE．
∵∠CBE=∠CFE，
∴∠CFE=∠BDC，
∴A、D、C、F四点共圆．----------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）连接HI，BF，由（Ⅰ）A、D、C、F四点共圆．得∠ADF=∠ACF=∠FBC，
∵AC是圆O的切线，
∴∠ACF=∠CEF，
∵HI∥DE，
∴∠CEF=∠HIF=∠HCF，
∴H、C、I、F四点共圆．-----------------------------------------------------------（3分）
∴∠HDC=∠FHI=∠FCI=∠ABF，
∴∠ADC=∠DBC=∠CBE，
又BC⊥DE，
∴△BED为等腰直角三角形．--------------------------------------------------------（5分）

点评 本题考查四点共圆的证明与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．