Question

17．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 通过a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，利用累乘法计算即可．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2n+1}{2n-1}$a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$，
∴当n≥2时，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$
=$\frac{2n-1}{2n-3}$•$\frac{2n-3}{2n-5}$•…•$\frac{5}{3}$•$\frac{3}{1}$
=2n-1，
又∵a₁=1，
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）．

点评 本题考查求数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．