Question

4．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（0＜ω＜3）的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式与最大值；
（2）设α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，f（$\frac{π}{3}$-β）=$\frac{24}{13}$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），由ωx+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的对称轴，结合题意可得$\frac{π}{3}$=$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{3ω}$，k∈Z，可解得：ω=3k+1，k∈Z，结合0＜ω＜3，可得ω的值，从而可求函数f（x）的解析式与最大值．
（2）由f（α-$\frac{π}{6}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，可解得：sinα，由f（$\frac{π}{3}$-β）=2sin（$\frac{π}{3}$-β+$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{24}{13}$，可解得：cosβ，结合范围α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，由同角三角函数关系式可求cosα，sinβ，利用两角和的余弦函数公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∴由ωx+$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的对称轴为：x=$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{3ω}$，k∈Z，
∵一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{π}{3}$=$\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{3ω}$，k∈Z，可解得：ω=3k+1，k∈Z，
∵0＜ω＜3，
∴ω=1．
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），其最大值为2．
（2）∵f（α-$\frac{π}{6}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，可解得：sinα=$\frac{4}{5}$，
∵f（$\frac{π}{3}$-β）=2sin（$\frac{π}{3}$-β+$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{24}{13}$，可解得：cos$β=\frac{12}{13}$，
∵α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}+\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的余弦函数，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．