Question

9．已知非空集合A，B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．
（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么A={6}；
（ⅱ）有序集合对（A，B）的个数是32．

Answer 1

分析 （ⅰ）如果集合A中只有1个元素，则1∉A，6∉B，即6∈A，1∈B，即可推出A；
（ⅱ）分别讨论集合A，B元素个数，即可得到结论．

解答 解：（ⅰ）如果集合A中只有1个元素，
若A={1}，则不满足条件．③，
若A={2}，则B={1，3，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．
若A={3}，则B={1，2，4，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．
若A={4}，则B={1，2，3，5，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．
若A={5}，则B={1，2，3，4，6，7}，含有6个元素，不满足条件④．
若A={6}，则B={1，2，3，4，5，7}，含有6个元素，满足条件．
若A={7}，则B={1，2，3，4，5，6}，含有6个元素，不满足条件④．
故A={6}；
（ⅱ）若集合A中只有1个元素，则集合B中只有6个元素，则1∉A，6∉B，
即6∈A，1∈B，此时有${C}_{5}^{0}$=1，
若集合A中只有2个元素，则2∉A，5∉B，
即5∈A，2∈B，则有${C}_{5}^{1}$=5，
若集合A中只有3个元素，则集合B中只有4个元素，则3∉A，4∉B，
即4∈A，3∈B，此时有${C}_{5}^{2}$=10，
若集合A中只有4个元素，则集合B中只有3个元素，则4∉A，3∉B，
即3∈A，4∈B，此时有${C}_{5}^{3}$=10，
若集合A中只有5个元素，则集合B中只有2个元素，则5∉A，2∉B，
即2∈A，5∈B，此时有${C}_{5}^{4}$=5，
若集合A中只有6个元素，则集合B中只有1个元素，则6∉A，1∉B，
即1∈A，6∈B，此时有${C}_{5}^{5}$=1，
故有序集合对（A，B）的个数是1+5+10+10+1=32，
故答案为：{6}；32

点评 本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．