Question

16．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，原点到过椭圆右焦点F且斜率是1的直线l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B为椭圆长轴的两个端点，作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的光线PQ，若满足∠AFP=∠BFQ，求证：割线PQ恒经过一定点．

Answer 1

分析 （1）写出直线l的方程y=x-c，由题意可得$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{\sqrt{2}}$，求出c值，再由e=$\frac{1}{2}$求得a，结合异号条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且割线PQ的方程为y=kx+m（k≠0），联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系得到P，Q两点横坐标的和与积．结合∠AFP=∠BFQ，得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}=0$，整理后再与根与系数的关系联立得到m=-4k．代入割线方程，由直线系方程得答案．

解答 （1）解：依题意设l：y=x-c，
则$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{\sqrt{2}}$，即c=1，又e=$\frac{1}{2}$，
则a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且割线PQ的方程为y=kx+m（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=$-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$（*）．
由∠AFP=∠BFQ，得k_PF=-k_OF，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}=0$，
即y₁（x₂-1）+y₂（x₁-1）=0．
即2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
将（*）代入上式得：$2k\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+（m-k）\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}-2m=0$，
化简得：m=-4k．
∴割线PQ的方程为y=k（x-4），则割线PQ恒经过一定点（4，0）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，考查了直线恒过定点问题，该题是中档题．