Question

10．若实数x、y满足x²+y²=1，则$\frac{x-y-3}{x+y-5}$的取值范围是[$\frac{7}{23}$，1]．

Answer 1

分析 设$\frac{x-y-3}{x+y-5}$=a，转化表达式为直线方程，利用圆心到直线的距离小于等于半径，求出a的范围即可．

解答 解：设$\frac{x-y-3}{x+y-5}$=a，则x-y-3-ax-ay+5a=0．即（1-a）x-（1+a）y+5a-3=0．
因为实数x，y满足x²+y²=1，
所以$\frac{|5a-3|}{\sqrt{{（1-a）}^{2}+{（1+a）}^{2}}}≤1$，即（5a-3）²≤2+2a²，
解得a∈[$\frac{7}{23}$，1]．
故答案为：[$\frac{7}{23}$，1]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，转化表达式的形式为直线方程的形式是解题的关键，考查计算能力．